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ID:BhKKk2ES7y
(・∀・)ｲｲ!! (6)
「今度は難しいよ」#95411で「8」と答えた方への質問でした。
正解は8です。
f(x)=x^3-3x^2+1とおくと、 f(-2/3)<0,f(0)>0,f(2/3)<0,f(3)>0より、
f(x)=0は異なる3つの実数解をもち、それらをα,β,γ(α>β>γ,a=α)とおくと、
-2/3<γ<0<β<2/3<α<3である。
また解と係数の関係よりα+β+γ=3,αβ+βγ+γα=0,αβγ=-1
ここでS(n)=α^n+β^n+γ^n(n=0,1,2,・・・)とおくと
S(0)=3,S(1)=α+β+γ=3,S(2)=(α+β+γ)^2-2(αβ+βγ+γα)=9
α,β,γはx^3-3x^2+1=0の解だから
・α^(n+3)-3α^(n+2)+α^n=0
・β^(n+3)-3β^(n+2)+β^n=0
・γ^(n+3)-3γ^(n+2)+γ^n=0
よってS(n+3)-3S(n+2)+S(n)=0
以上のことから、９で割った余りが同じ整数同士を≡を使って表すと（例えば2≡11,14≡23である）
S(0)≡3,S(1)≡3,S(2)≡0,S(3)≡6,S(4)≡6,S(5)≡0,S(6)≡3,S(7)≡3,S(8)≡0,・・・
となり、周期６で繰り返すことが分かる。
1994=332×6+2だから、S(1994)≡S(2)≡0である。
|β|<2/3,|γ|＜2/3より、0<β^2+γ^2<1(|x|はｘの絶対値を表す)
よって0<β^1994+γ^1994<β^2+γ^2<1
だからαの整数部分=(S(1994)-β^1994-γ^1994)の整数部分≡-1≡8
よって求める答えは8である。
あなたはどうやって正解にたどり着きましたか？
| 1 | 知ってた | 2 |  (6.1%) |
| 2 | 計算した（証明した） | 9 | (27.3%) |
| 3 | ググった | 0 | |
| 4 | 適当 | 21 | (63.6%) |
| 5 | もりたぽ | 1 | (3%) |
| 無視 | 0 | | |
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合計回答数: 33人 / 33個
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- 2 :名無しさん 16/01/26 21:41 ID:4Z_nCFSx9H (・∀・)ｲｲ!! (2)
- こんなのまぐれ適当に決まってるだろ。
- 3 :名無しさん 16/01/26 21:52 ID:ZBMYRJFLc0 (・∀・)ｲｲ!! (2)
- 数�靴泙燃悗鵑澄�数学は得意だった。
だが、社会に出て、何の役にも立たないことが痛いほどわかった。
インドの２桁×２桁の掛け算のほうが、社会では、ずっと役に立つ。
以上、独り言です。。。。 - 4 :名無しさん 16/01/26 22:03 ID:dKLdSPLoyX (・∀・)ｲｲ!! (0)
- 8は万象に到達する真理の数なんだよ
- 5 :名無しさん 16/01/26 22:57 ID:U.sVkfvkJR (・∀・)ｲｲ!! (0)
- ふむふむ
- 6 :名無しさん 16/01/26 22:57 ID:mc8s9pzLMW (・∀・)ｲｲ!! (1)
- 俺の直感によると、正解はまさかの「9」と見たんだが
なぜか選択肢に9が無かったので泣く泣く一番近い8にした
まあ、8も9もそんなに変わらないし別にいいかなと思って - 7 :名無しさん 16/01/27 04:29 ID:SjN.S,BeQl (・∀・)ｲｲ!! (1)
- どや顔で正解
- 8 :1 16/01/27 14:51 ID:Gvh77dM,DW (・∀・)ｲｲ!! (1)
- >>3
ほとんどの人にとって、数学そのものは社会で全くと言っていい程役に立たないでしょう。
でも、論理的思考は社会で役立つし、数学はそのもっとも優れた訓練方法ではないでしょうか？
それでもなお数学が何の役にも立たないとお考えでしたら、数学の勉強方法が間違っていたのではないかと思います。 - 9 :名無しさん 16/01/28 16:38 ID:NzZi14CO_R (・∀・)ｲｲ!! (0)
- 周期6で繰り返すことの証明をオナシャス
- 10 :１ 16/01/28 22:59 ID:-ncAN3eL2r (・∀・)ｲｲ!! (0)
- >>9
S(n+3)-3S(n+2)+S(n)=0よりS(n+3)=3S(n+2)-S(n)、つまりS(・)は1つ前と3つ前のS(・)によって決まる。
S(9)≡0はS(8)≡0とS(6)≡3で決まり、これは
S(3)≡0はS(2)≡0とS(0)≡3で決まるのと同様である。
S(10)とS(4),S(11)とS(5)・・・の関係も全く同じであるので、S(・)は周期6で繰り返すことが分かる。