ID:BhKKk2ES7y (・∀・)ｲｲ!! (6)

「今度は難しいよ」#95411で「8」と答えた方への質問でした。

正解は8です。

f(x)=x^3-3x^2+1とおくと、　f(-2/3)<0,f(0)>0,f(2/3)<0,f(3)>0より、
f(x)=0は異なる3つの実数解をもち、それらをα,β,γ(α>β>γ,a=α)とおくと、
-2/3<γ<0<β<2/3<α<3である。

また解と係数の関係よりα+β+γ=3,αβ+βγ+γα=0,αβγ=-1

ここでS(n)=α^n+β^n+γ^n(n=0,1,2,・・・)とおくと
S(0)=3,S(1)=α+β+γ=3,S(2)=(α+β+γ)^2-2(αβ+βγ+γα)=9
α,β,γはx^3-3x^2+1=0の解だから
・α^(n+3)-3α^(n+2)+α^n=0
・β^(n+3)-3β^(n+2)+β^n=0
・γ^(n+3)-3γ^(n+2)+γ^n=0
よってS(n+3)-3S(n+2)+S(n)=0

以上のことから、９で割った余りが同じ整数同士を≡を使って表すと（例えば2≡11,14≡23である）
S(0)≡3,S(1)≡3,S(2)≡0,S(3)≡6,S(4)≡6,S(5)≡0,S(6)≡3,S(7)≡3,S(8)≡0,・・・
となり、周期６で繰り返すことが分かる。
1994=332×6+2だから、S(1994)≡S(2)≡0である。
|β|<2/3,|γ|＜2/3より、0<β^2+γ^2<1(|x|はｘの絶対値を表す)
よって0<β^1994+γ^1994<β^2+γ^2<1
だからαの整数部分=(S(1994)-β^1994-γ^1994)の整数部分≡-1≡8
よって求める答えは8である。

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