ID:3b.athKwCA (・∀・)ｲｲ!! (1)

「塗り方は何通り？（ちょっと難しいかも）」#95976で「322」と答えた方への質問でした。

正解は322通りです。

対称性により、中央のマスを赤く塗る場合について調べれば良い。
図のA,B,C,Dのうち、何マスを赤く塗るかで場合分けする。
２×２の正方形には必ず中央のマスが含まれることに注意する。

□Ａ□
Ｄ赤Ｂ
□Ｃ□

・赤が０マスの場合。
どのように隅の４マスを塗っても、赤マスのみからなる２×２の正方形はできない。
よって4マスを任意の色で塗ることができる。ゆえにこの場合は2^4=16通り。

・赤が１マスの場合
この場合も同様に、４マスを任意の色で塗ることができる。
赤く塗る１マスの選び方は４通りであるので、この場合は4×2^4=64通り。

・赤が２マスの場合
その２マスがA,CまたはB,Dである場合は、やはり4マスを任意の色で塗ることができる。この場合は2×2^4=32通り。

それ以外の場合は、隅のマス1つは赤マスで挟まれているので青で塗らなければならないが、他のマスは任意の色で塗ることができる。この場合は4×2^3=32通り。

・赤が3マスの場合
隅マス2つが赤マスに挟まれているので、これらは青で塗らなければならないが、他のマスは任意の色で塗ることができる。この場合は4×2^2=16通り。

・赤が4マスの場合
隅のマスは全て青で塗らなければならない。この場合は1通り。

よって(16+64+32+32+16+1)×2=322通り。

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