結果発表 - 自然数の和 - コッソリアンケートβ

2 :名無しさん 06/03/25 04:19 ID:24fb304289 (・∀・)ｲｲ!! (0): この問題は解答を書いておきます

自然数の和
どんな自然数も連続した２つ以上の自然数の和で表せるだろうか．表せるとしたらそれを証明せよ．表せないとしたら，どんな数が表せないだろうか．
10=1+2+3+4
22=4+5+6+7
15=7+8
奇数２ｋ＋１なら，2k+1=k+(k+1)だから明らか．
偶数xが奇数の素因数を持つとき，x=a*bとして，bを奇数とする．b個のaを並べて
x=a+a+a+....+a
とする．奇数個だから真ん中のaがある．このaを中心にして，
x=(a-k)+(a-k+1)+(a-k+2)+...+(a-1)+a+(a+1)+(a+2)+....+(a+k-1)+(a+k)
をつくる．ここで，a-kが負の数にならないならこれが答え．もしa-kが負の数になるなら，a-k+j=0となるｊがあるはずだから，この０を中心にして，負数を右側の正数と対にしてキャンセルする．例えば，
26=2*13=2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2
=-4+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3+4+5+6+7+8
=5+6+7+8
偶数が奇数の素因数を持たないとき，すなわち，２の巾乗の数 1,2,4,8,...のときは引き続いた整数の和にはかけない．なぜなら，
2^p=(k+1)+(k+2)+....+(k+n)=nk+n(n+1)/2
とすると，両辺に２をかけて，
2^(p+1)=2nk+n(n+1)=n(2k+n+1)
左辺は奇数の素因数を持たないが，右辺は必ず奇数の素因数を持つから矛盾．

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