結果発表 - 数学小テスト　（その５）

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2011年10月19日 15時42分終了#60466 [学問] 数学小テスト　（その５）

数列とは数を一列にならべたものを指し、それぞれの数のことを項とよびます。
１、３、５、７、９、11、…と並んでいれば、第１項（＝初項）は１、第３項は５と言う風になり、２ずつ増えているため公差２、初項１の等差数列と呼びます。
上の数列の一般項（ｎ項）は 1+2(n-1) = 2n-1 となります。

また、２、６、13、24、40、62、…のような数列Anは差を取ってみると、４、７、11、16、22、…となっており、その数列Bnの中に更に階層Cnを伴って増えているため
Bnを第１階差数列、Cnを第２階差数列と呼びます。
この場合は、一般項は本来の与えられている数列Anの初項２と差を取った側の一般項Bnの和、一般項Cnの和をそれぞれ合成し
Cn = n+2、Bn = 4+ΣCn = 4+n(n-1)/2+2(n-1) = (n^2+3n+4)/2、An = 2+ΣBn…
と言う具合に求めますが、この時、注意するのは(n-1)項までの和の公式
Σk = n(n-1)/2、Σk^2 = n(n-1)(2n-1)/6、Σk^3 = {n(n-1)/2}^2
をそれぞれ覚えておかねばならない点です。

さて、ここで問題です。
以下の数列の一般項と第13項を求めてみました。
　１、４、37、105、225、426、…
その時の一般項と第13項の組み合わせで正しいのはどれだと思いますか？
正しいのを選んでみてください。

正解者には先ずは５モリ差し上げます。
正解者数により、その後で特別モリタポの贈与も予定しておりますので、挑戦してみてください。

追記

数値が一つ抜けていたので、下の数列で考えてください。

　１、４、37、105、225、426、749、…

1	【モリタポ】	362	(12.1%)
2	【分からない】	485	(16.2%)
3	この中には正解は無い	220	(7.3%)
4	一般項 (5n^4 - 20n^3 + 125n^2 - 323n + 180) / 8、第13項 3333	149	(5%)
5	一般項 (6n^4 - 35n^3 + 252n^2 - 230n - 343) / 13、第13項 9696	138	(4.6%)
6	一般項 (8n^4 - 34n^3 + 196n^2 - 128n + 240) / 12、第13項 4215	112	(3.7%)
7	一般項 (3n^4 - 25n^3 + 165n^2 - 347n + 210) / 6、第13項 9057	646	(21.5%)
8	一般項 (42n^4 + 67n^3 - 183n^2 + 211n + 904) / 24、第13項 65535	146	(4.9%)
9	一般項 (8n^4 - 48n^3 + 323n^2 - 226n - 910) / 15、第13項 16605	142	(4.7%)
10	一般項 (11n^4 + 57n^3 - 125n^2 + 540n - 302) / 6、第13項 4215	123	(4.1%)
11	一般項 (5n^4 + 20n^3 - 152n^2 - 233n + 120) / 7、第13項 4501	117	(3.9%)
12	一般項 (5n^4 - 20n^3 - 152n^2 + 232n - 180) / 6、第13項 9750	183	(6.1%)
13	一般項 (6n^4 - 38n^3 + 227n^2 - 323n + 270) / 16、第13項 8872	177	(5.9%)
無視		12

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合計回答数: 3000人 / 3000個

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2 :名無しさん 11/10/18 21:25 ID:gcxUBtMCat (・∀・)ｲｲ!! (5): 長い
3 :名無しさん 11/10/18 21:25 ID:9SW2ajz5TZ (・∀・)ｲｲ!! (7): 日本語でおｋ
4 :名無しさん 11/10/18 21:26 ID:ehkan4N1Zp (・∀・)ｲｲ!! (1): 産業にまとめろ
5 :名無しさん 11/10/18 21:26 ID:i_-qwADS2b (・∀・)ｲｲ!! (0): ごめんググる気も起きなかったわ
6 :名無しさん 11/10/18 21:27 ID:eAEtD.I_aH (・∀・)ｲｲ!! (0): 何言ってるかさっぱりわからんｗ
7 :名無しさん 11/10/18 21:27 ID:jFakIwbM-t (・∀・)ｲｲ!! (0): 数列とは
まで読んだ
8 :名無しさん 11/10/18 21:29 ID:tv3.vFWolU (・∀・)ｲｲ!! (1): 数学科卒だけどこの手の問題で正解した事がない
9 :名無しさん 11/10/18 21:30 ID:w2,w_EJT7Z (・∀・)ｲｲ!! (2): 大昔に勉強したかすかな記憶では歯が立たんｗ
10 :名無しさん 11/10/18 21:31 ID:0SxyqhoAh2 (・∀・)ｲｲ!! (1): 解ける前にアンケートが終了しそうｗ
11 :名無しさん 11/10/18 21:36 ID:Gachx_DSEY (・∀・)ｲｲ!! (2): そうですね、凄いですね
12 :名無しさん 11/10/18 21:37 ID:Pyz0cGDgzB (・∀・)ｲｲ!! (0): 力押しでいける問題よりはパズル的な問題の方が好きだな・・・

解き方は解説してあるし
n=1でなら全部計算しても電卓があれば手間じゃないし
一応確認でn=2以降計算しても関数電卓モード使えば楽だし
3000人だから時間余裕あるし
できる条件そろってると思うんだけど正答率低いね
13 :名無しさん 11/10/18 21:38 ID:wCbPF9kS56 (・∀・)ｲｲ!! (3): nに１代入で１になるかどうかやればおｋ
かんたんなお仕事
14 :名無しさん 11/10/18 21:38 ID:,IFqfJMKzX (・∀・)ｲｲ!! (2): ふむふむ、なるほどねこうくるか……ククク
15 :名無しさん 11/10/18 21:40 ID:gOQ6ApmVb9 (・∀・)ｲｲ!! (4): 途中、顔文字使ってるのかと思った (^3^)
16 :名無しさん 11/10/18 21:40 ID:,FhvSSuKzY (・∀・)ｲｲ!! (-1): すまん。
わからんので、選択肢をちょこっと加工してexcel先生に頼んだ。

でも面白かった。ありがとう。
17 :名無しさん 11/10/18 21:41 ID:nmldBDktxx (・∀・)ｲｲ!! (1): とりあえずエクセルに式ぶち込んだ
18 :名無しさん 11/10/18 21:43 ID:1_ycxdckp1 (・∀・)ｲｲ!! (1): 2行目で既に理解できないんだが…。
19 :名無しさん 11/10/18 21:49 ID:r,Z.wkL8hw (・∀・)ｲｲ!! (1): 頑張れば解けそうだったがエクセルの方が圧倒的に早そうだったのでエクセル使った
20 :名無しさん 11/10/18 22:05 ID:-nhI95z7zm (・∀・)ｲｲ!! (1): n^4の係数以外は計算する気にもなれなかった
21 :名無しさん 11/10/18 22:09 ID:OMXFm.VYS7 (・∀・)ｲｲ!! (4): 第3階差までとったら１２の等差だったから紙にかいて全部暗算で足していって13項だした
驚いたことにどんぴしゃの数字があって自分でもビックリしたｗ
公式はもう高校の時にやったの忘れたわ…いまから復習の意味をこめて一般項だしてみっかなぁ
記憶の奥底から引っ張り出すのってものすごく億劫なんだよなｗ
22 :名無しさん 11/10/18 22:15 ID:U4ocK4LeTg (・∀・)ｲｲ!! (1): 初項が 1 になりそうな式をピックアップしてチェックした。
なんかごめん。
23 :名無しさん 11/10/18 22:16 ID:5TcRf5_D48 (・∀・)ｲｲ!! (1): エクセルに途中まで書いて階差の式書いて、あとはびーっと。
24 :名無しさん 11/10/18 22:16 ID:ZYjEhcHbNs (・∀・)ｲｲ!! (3): 久しぶりにこういう式を見た気がする
1を代入すればすぐ終わるし2まで確認したら誰にでもわかるし時間たっぷりある
25 :名無しさん 11/10/18 22:18 ID:fCdRr3h8o7 (・∀・)ｲｲ!! (1): 6行目までまじめに読んで理解しようと努めたけれど
7行目のΣの意味がわからなくて挫折した
26 :名無しさん 11/10/18 22:19 ID:.-y1iX08dG (・∀・)ｲｲ!! (2): めんどい
27 :名無しさん 11/10/18 22:21 ID:CRYPUxM.ZU (・∀・)ｲｲ!! (1): 一般項を得るより階差を調べて13までの項を計算した方が早い。
第13項の正しい値を示しているのは1つだけだからね。
28 :名無しさん 11/10/18 22:22 ID:D3LrRfatO2 (・∀・)ｲｲ!! (1): 単純作業の計算って面白くなぁい
29 :名無しさん 11/10/18 22:29 ID:PZWUbv3,qN (・∀・)ｲｲ!! (1): ネトゲ2個掛け持ちしてなければ暇つぶしに取り組むのもいいかもだが
30 :名無しさん 11/10/18 22:30 ID:JH7x0GFMC4 (・∀・)ｲｲ!! (2): 12 12 12
31 :名無しさん 11/10/18 22:34 ID:_RQ4nCsEse (・∀・)ｲｲ!! (1): 高校で数学赤点とって死にそうな思いで補習＆課題やらされたトラウマを思い出させるんじゃないよ！！
32 :名無しさん 11/10/18 22:39 ID:-xgJE0uC7p (・∀・)ｲｲ!! (-1): 数列については基礎知識として十分理解してるから、だらだらへたな説明をせず、端的に問題の数列だけ示して欲しい
33 :名無しさん 11/10/18 22:40 ID:JH7x0GFMC4 (・∀・)ｲｲ!! (1): ｷﾘ
34 :名無しさん 11/10/18 22:41 ID:VqWAuewmLc (・∀・)ｲｲ!! (1): カッコ内だけで計算済ませて「/」をすっかり見落としてたorz
35 :名無しさん 11/10/18 22:41 ID:mR,s9_Rq4z (・∀・)ｲｲ!! (2): まともに紙に計算して答え出したら、
実は代入で楽勝というオチ
酷い…苦労が…
36 :名無しさん 11/10/18 22:43 ID:pAbsDwf4Pn (・∀・)ｲｲ!! (1): よく分からないけど出題と選択肢の中に解き方が含まれてたから
理解しなくてもnを代入しさえすれば答えが出た
主が親切設計で助かった
37 :名無しさん 11/10/18 22:46 ID:f3F48p1RJU (・∀・)ｲｲ!! (1): 日本語で
38 :名無しさん 11/10/18 22:47 ID:JH7x0GFMC4 (・∀・)ｲｲ!! (1): 1入れて解答出ちゃうのはアンケらしいな
39 :名無しさん 11/10/18 22:50 ID:awXlQVol6s (・∀・)ｲｲ!! (1): > １、４、37、105、225、426、749、…
これの上昇幅を見て 3と5の倍数が重要そうだと適当に選んだ
エクセルやらで計算させようかと思ったけど、入力が既にめんどくさかった．．．
40 :名無しさん 11/10/18 22:50 ID:Nje76Xzzcz (・∀・)ｲｲ!! (1): みんなすごいな・・・
さっぱりわからなかった。
41 :名無しさん 11/10/18 22:50 ID:jwLqPKqZ,F (・∀・)ｲｲ!! (2): ユニバーサルメルカトル図法でわかった
42 :名無しさん 11/10/18 22:57 ID:thaEnFhnPw (・∀・)ｲｲ!! (1): 俺なんか、この板を読んでも分からないんだぜｗ
生まれ変わっても理系には進めんわ
43 :名無しさん 11/10/18 23:02 ID:AeYKy46Ksv (・∀・)ｲｲ!! (0): 途中までやったが計算が面倒くさすぎてやめた
44 :名無しさん 11/10/18 23:07 ID:1aMYF6U,Hn (・∀・)ｲｲ!! (4): n=1でわかっちゃうのが残念
45 :名無しさん 11/10/18 23:30 ID:pEqKACzkLQ (・∀・)ｲｲ!! (3): 素直に認めます。
解りませんでした、えぇ、面倒だったので途中で考えることを放棄しました。
46 :名無しさん 11/10/18 23:44 ID:7CcH7bKDAu (・∀・)ｲｲ!! (1): 頭の体操になった
いいね
47 :名無しさん 11/10/18 23:49 ID:kxPYnYDJTd (・∀・)ｲｲ!! (0): 数学嫌いだから読む気にもなれなかった…
記号の羅列だ…せめて文系問題にしてくだせえ´*｀
わかりませんでしたすまんせん
48 :名無しさん 11/10/19 00:03 ID:4CB,UBzPv2 (・∀・)ｲｲ!! (0): とりあえず書き出すのがオレのジャスティス
49 :名無しさん 11/10/19 00:20 ID:eUXBAeIrqp (・∀・)ｲｲ!! (0): 初めてExcelさんが大活躍してくれた
50 :名無しさん 11/10/19 00:21 ID:G,H50p_uPy (・∀・)ｲｲ!! (0): エクセル使ったら簡単そうだったが、メモ帳と電卓で計算してみた。
“この中には正解は無い”なと結論したが、メモを見直してみたら数字を書き写し間違えてたわw
51 :名無しさん 11/10/19 00:25 ID:v52LKn1.Ht (・∀・)ｲｲ!! (2): 紙に書いて計算してたら、n^4とn^3とn^2の係数はぴったしなのに、nの係数がとんでもないことになった。

何処で間違えた・・・・
52 :名無しさん 11/10/19 00:37 ID:L1tTB8f_MF (・∀・)ｲｲ!! (0): n=1代入で終わっちゃうのが残念だよなあ。
受験数学的には、n=1だけでは答えが出ないような選択肢にして、
実は一般項出さなくてもn^4の係数出すだけで答えが選べます
…って問題にすると、難関私立理系っぽい良問なんじゃなかろうか。
53 :名無しさん 11/10/19 00:40 ID:ItryjIy4iM (・∀・)ｲｲ!! (0): 面白かった
54 :名無しさん 11/10/19 00:43 ID:Q84XZ,lOWi (・∀・)ｲｲ!! (2): シグマ見ると顔文字思い出してしまうね
Σ(´･ω･｀)
55 :現役高校生 11/10/19 00:48 ID:v52LKn1.Ht (・∀・)ｲｲ!! (1): 第3階差数列までとったらいけそうと思って紙に書いてチャレンジしてみた。

結果、求める一般項{An}のn^4、n^3、n^2とnが付かない自然数の係数はビンゴなのにnの係数だけがおかしいことに…

どこで間違った・・・
56 :名無しさん 11/10/19 01:23 ID:np.xDNcI-C (・∀・)ｲｲ!! (0): 数列は数学の中でも一番苦手な分野だったんだ・・・。
57 :名無しさん 11/10/19 01:43 ID:okdtpSRxa4 (・∀・)ｲｲ!! (0): エクセルって便利だな
58 :名無しさん 11/10/19 02:00 ID:tkeLL9,5DN (・∀・)ｲｲ!! (1): 紙で正攻法で出したらbnのシグマ計算で符号ミス&anで3乗の公式違ってた&展開ﾐｽ&分数計算ﾐｽという散々な結果に...orz最終的には答え出たけど相当時間かかった
nの係数ミスってる人はanの計算が複雑(というより面倒)だったからやつてみたら？やる気力があるならの話だけどwww
59 :名無しさん 11/10/19 02:39 ID:sPvc3hcl,g (・∀・)ｲｲ!! (0): n=1代入で回答したのだが、なんとなく和の公式の導出から問いからの回答導出やった。
久しぶりに数学計算するのもいね。どこかで計算ミスして解等合わなかったけどorz
60 :名無しさん 11/10/19 03:00 ID:SvRszC1Gtw (・∀・)ｲｲ!! (0): そもそもΣの記号字体習っていない
覚えていないわけじゃない、本当に教わらなかったんだ
商業高校は学習指導要領を満たさなくてもいいという特例があるのか？
61 :名無しさん 11/10/19 03:48 ID:Ay794Lbir5 (・∀・)ｲｲ!! (0): 12の等差数列ですね。
これは難しい。。。
62 :名無しさん 11/10/19 05:11 ID:69nvBZnNv1 (・∀・)ｲｲ!! (1): >>60
最近は数学��BCで数列はA(BC)になってたと思う
で、数学を重視していない(進学目的の授業カリキュラムじゃない）と��④世韻世辰燭�
最悪��世韻嚢盥�年間使ったりするところもある。(さすがに中学レベルを教えてるところは無いと思いたい）
ただし、出版社によっては��となってたり��の要素が幾つか入ってたりもする。
習ってないという可能性はあると思うよ。勿論一昔前の世代(30↑)の普通科なら習ってる可能性高いけどね。
63 :62 11/10/19 05:21 ID:69nvBZnNv1 (・∀・)ｲｲ!! (1): >>61
なんか文字化けてる？ローマ数字使ったのが悪いのだろうか？
＞最近は数学123ABCで別れていて数列はA（BC)になってたと思う
＞で、数学を重視していない（進学目的の授業カリキュラムじゃない）と123だけだったりもする。
＞最悪12を高校3年間使ったりするところもある。（）
＞ただし、出版社によっては1Aとなってたり1にAの要素が幾つか入ってたりもする。
64 :名無しさん 11/10/19 06:12 ID:TGXBCr.5g, (・∀・)ｲｲ!! (1): 一般項の定数項で一瞬だな。と思ったが分数表示になってて面倒くさかった。

大学受験の記憶が蘇った。もう大学受験は懲り懲りだな……

>>63
自分は家庭教師やってるけど、数列は数Bだね。
出版社によってかわるって、その教材は文科省が検定してないやつじゃない？
65 :名無しさん 11/10/19 07:05 ID:TppGauUjNy (・∀・)ｲｲ!! (0): 面倒みたいだけど、n=1で…あっガイシュツか！
66 :名無しさん 11/10/19 08:10 ID:ZaJTi3_J_v (・∀・)ｲｲ!! (0): 3年ぶりに数列解いたｗｗｗ
67 :名無しさん 11/10/19 08:17 ID:MTf5Pow4ST (・∀・)ｲｲ!! (-1): おぺのっふぃせ先生で楽勝でした
解析は等差数列出すところまでしかしてないてか数列よくわかんねえ
68 :名無しさん 11/10/19 08:27 ID:DN7_-kihy, (・∀・)ｲｲ!! (0): 頑張って解いたが選択肢になかった
あれれ？
69 :名無しさん 11/10/19 09:18 ID:0eVGXZLVzC (・∀・)ｲｲ!! (0): 久々にポケコンにBasic打ち込んだ。
数列としては理解できなかったww
70 :名無しさん 11/10/19 10:03 ID:h,83qNwxTF (・∀・)ｲｲ!! (0): ん?係数は12じゃないのか?俺はどこを勘違いしてるんだ?
71 :名無しさん 11/10/19 10:15 ID:Jqv3SK0Ckg (・∀・)ｲｲ!! (0): エクセルで整値して解析しましたすいません
72 :名無しさん 11/10/19 10:35 ID:,RsDmMrbkr (・∀・)ｲｲ!! (0): こんな本格的なの、小テストじゃないよー(-_-;)
73 :名無しさん 11/10/19 10:40 ID:XMdBnFe2ZK (・∀・)ｲｲ!! (0): 意味分からん
74 :名無しさん 11/10/19 11:11 ID:V1_ytpLCKe (・∀・)ｲｲ!! (0): 面倒だからエクセルで
75 :名無しさん 11/10/19 11:22 ID:pnBG_TeVxw (・∀・)ｲｲ!! (1): みんなn=1代入とかって言ってるけど
n=13代入の方が良くなくなくない？
76 :名無しさん 11/10/19 11:29 ID:VZK.B8y0oW (・∀・)ｲｲ!! (1): あいこれか
77 :名無しさん 11/10/19 11:54 ID:o3UncuRbGO (・∀・)ｲｲ!! (-10): EXCEL余裕でした
一般項は出ないけどな！

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
An 1 4 37 105 225 426 749 1247 1985 3040 4501 6469 9057 12390
Bn 3 33 68 120 201 323 498 738 1055 1461 1968 2588 3333
Cn 30 35 52 81 122 175 240 317 406 507 620 745
Dn 5 17 29 41 53 65 77 89 101 113 125
En 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12
78 :名無しさん 11/10/19 11:56 ID:CyPVPRmwfN (・∀・)ｲｲ!! (1): 計算式でぐぐると答えを出してくれるよ。
79 :名無しさん 11/10/19 12:16 ID:pnBG_TeVxw (・∀・)ｲｲ!! (2): >>77
おい、みんなオブラートにくるんだ言い方してるのに
ここに答えを書くのは反則だろ。
アンケートに答える前に見ることができるんだよ。
80 :名無しさん 11/10/19 13:07 ID:tPbEb6lClI (・∀・)ｲｲ!! (1): 1で出来るとか笑うしかない・・・・・
81 :名無しさん 11/10/19 13:27 ID:cIv1aZkqYT (・∀・)ｲｲ!! (1): 開いて3秒、即答であった
82 :名無しさん 11/10/19 13:28 ID:AJ9b.GnrYF (・∀・)ｲｲ!! (1): 第3階差が等差だから後は和の公式で順々に戻していくだけだな。
めんどくさいけどひたすら書き出せばできるはず
83 :名無しさん 11/10/19 13:31 ID:aF7YDTIMcO (・∀・)ｲｲ!! (0): 一目見てめんどくさそうだったから【分からない】を選んだけど
意外と簡単に解けたのか・・・
この問題で俺は諦めないことの大切さを学んだ
84 :名無しさん 11/10/19 13:32 ID:UkRcKzGa9x (・∀・)ｲｲ!! (1): 和の公式の形からして、一般項の分母は12の約数にしかならんから、実質四択(「この中に正解はない」を除く)。
85 :名無しさん 11/10/19 13:41 ID:wByogjeiUN (・∀・)ｲｲ!! (2): >>77 を見たのに意味が分からなくて間違えたｗ
86 :名無しさん 11/10/19 14:10 ID:t8GvunMixm (・∀・)ｲｲ!! (1): 漸化式はあまり得意ではなかった・・・
87 :名無しさん 11/10/19 15:10 ID:XKz9-zJiT1 (・∀・)ｲｲ!! (0): も・り・た・ぽ
88 :名無しさん 11/10/19 15:29 ID:sqU-715V4u (・∀・)ｲｲ!! (1): 全然わからなかった…
89 :名無しさん 11/10/19 17:58 ID:UOKYwhEzjJ (・∀・)ｲｲ!! (1): 選択肢あるからまぁ　選べて　検算OKだったけど
回答後　きっちり一般項だそうとやってみると　いや～計算厳しいね～
間違い連発
和の公式とか覚えてないよ～
90 :名無しさん 11/10/19 18:59 ID:hraJ1a3RYA (・∀・)ｲｲ!! (2): 終わったようなので先生を
ttp://www.wolframalpha.com/input/?i=FindSequenceFunction%5B%7B1%2C4%2C37%2C105%2C225%2C426%2C749%7D%2Cn%5D
91 :名無しさん 11/10/24 05:04 ID:UoL_PZaqn0 (・∀・)ｲｲ!! (1): 第ｋ階差数列とはなっていないので
k(2-k)(3-k)(4-k)(5-k)(6-k)(7-k) + 4(1-k)k(3-k)(4-k)(5-k)(6-k)(7-k) + 37(1-k)(2-k)k(4-k)(5-k)(6-k)(7-k) +
105(1-k)(2-k)(3-k)(k)(5-k)(6-k)(7-k) + 225(1-k)(2-k)(3-k)(4-k)(k)(6-k)(7-k) +
426(1-k)(2-k)(3-k)(4-k)(5-k)(k)(7-k) + 749(1-k)(2-k)(3-k)(4-k)(5-k)(6-k)(k)

こんな数列が考えられ、解無しなんてね。
92 :名無しさん 11/10/24 05:06 ID:UoL_PZaqn0 (・∀・)ｲｲ!! (1): だめじゃん。
第ｋ階差数列とはなっていないので
1*(2-k)(3-k)(4-k)(5-k)(6-k)(7-k) + 4(1-k)(1)(3-k)(4-k)(5-k)(6-k)(7-k) + 37(1-k)(2-k)(1)(4-k)(5-k)(6-k)(7-k) +
105(1-k)(2-k)(3-k)(1)(5-k)(6-k)(7-k) + 225(1-k)(2-k)(3-k)(4-k)(1)(6-k)(7-k) +
426(1-k)(2-k)(3-k)(4-k)(5-k)(1)(7-k) + 749(1-k)(2-k)(3-k)(4-k)(5-k)(6-k)(1)

こうなれば、題意を満たす。

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数学小テスト　（その５）　解答発表 646名 25レス: 今回は、中学生・高校生の２学期中間テストの終了時期に合わせ、数学小テストの（その５）を行いましたが、参加された方々、まことに…

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