2013年8月13日 19時18分終了#70439 [学問] し真夏の夜の数学 -第三場-

ID:DBbqEJ6N,3 (・∀・)ｲｲ!! (1)

「真夏の夜の数学 -第二場-」#70401で「7353」と答えた方への質問でした。

暑いですね。暑いですね。
連日の猛暑、最高気温40℃を超える町もあるなか、いかがお過ごしでしょうか。
ここで少し数学でもやって、涼んでいきませんか？

放物線y=1/3*x^2,y=-x^2+4ax-3a^2をそれぞれC,Dとする。
また、C,D,x=0,x=3で囲まれた図形のうち、y≧0を満たす部分の面積をS(a)とする。
aがa>0の範囲を動くとき、S(a)はa=(ア)/(イ)で最小値(ウ)/(エ)をとる。
　

追記

アイウエを並べた4桁の英数字を答えてください。
ただし、カタカナ1文字につき、数字1文字(0〜9)、-(マイナス記号)、a、bのいずれかが入ります。

1	0721	0
2	1212	0
3	1232	2	(1.7%)
4	1252	2	(1.7%)
5	1272	4	(3.3%)
6	1273	3	(2.5%)
7	1292	1	(0.8%)
8	1276	0
9	1216	2	(1.7%)
10	1238	2	(1.7%)
11	1258	0
12	1278	1	(0.8%)
13	1415	0
14	1445	0
15	1673	0
16	1687	0
17	2376	3	(2.5%)
18	1517	0
19	3234	89	(74.2%)
20	3294	1	(0.8%)
21	3497	2	(1.7%)
22	3535	0
23	4328	0
24	4383	3	(2.5%)
25	7272	0
26	7473	2	(1.7%)
27	7532	1	(0.8%)
28	7552	1	(0.8%)
29	MORI	0
30	TAPO	0
31	その他	1	(0.8%)
無視		0

棒グラフまたは左の番号をクリックするとその項目を元にしたしっかりアンケートが作れます。

多い順に並べる

「その他」の内容、回答頻度、省略された選択肢の全表示、などの詳細表示

この円グラフをブログに貼れます→

合計回答数: 120人 / 120個

このアンケートにはNGワード「JR東海」「大学への」「チャート」「基礎からの」「ハイレベル理系」「基礎問題精講」「ニューアクション」が設定されていて、部分的に一致しても回答が無効な設定になっているので結果が偏っている可能性があります。

このアンケートと年齢、性別、出身都道府県、居住都道府県でのクロス集計を見る Tweet

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バーバリー ワンピースのバーバリー ワンピース / 2013年11月24日 23時4分

結果発表 - 真夏の夜の数学 -第三場- - コッソリアンケートβ

2 :名無しさん 13/08/12 23:02 ID:E3KkTUm2Aq (・∀・)ｲｲ!! (3)

計算量多い問題は苦手

3 :名無しさん 13/08/12 23:20 ID:H2Au01e0Gf (・∀・)ｲｲ!! (2)

微分とか極大値とか定積分とか10年ぶりぐらいにやったわ

4 :名無しさん 13/08/13 00:01 ID:AEu6bOWX79 (・∀・)ｲｲ!! (3)

よみがえる！
数学に打ち込んだ若き日々が！

5 :名無しさん 13/08/13 00:16 ID:FcspA97MqS (・∀・)ｲｲ!! (2)

こういう問題解くのは嫌ではないが
地頭も手際も悪かったから愚直にちんたら計算してて受験はボロボロだったな・・・

6 :名無しさん 13/08/13 00:24 ID:U0hAxfHcd. (・∀・)ｲｲ!! (3)

積分マークを見ると脳みそが溶けるので無理です

7 :名無しさん 13/08/13 00:26 ID:Bhe3XQsRiq (・∀・)ｲｲ!! (2)

思いついた方法じゃグラフが接して面積出せね
明日考えなおそう

8 :名無しさん 13/08/13 00:27 ID:PceJquXmZq (・∀・)ｲｲ!! (0)

>>1
締め切り前の問題で掲示板にあれこれヒントを書いている人はあぼーんしちゃっていいんじゃない？

9 :1 13/08/13 00:45 ID:XArE_CYuj, (・∀・)ｲｲ!! (2)

>>8
ズバリを書いてなければ、極力スルーします。
前回の7と9あたりがギリギリアウトですね。
2回戦なのでスルーしましたが、そろそろ難度が上がってきて
ネタバレが回答者の楽しみを奪う可能性があるので、
以後あのレベルでのネタバレは消されるかもしれません。

10 :8 13/08/13 01:41 ID:leT49y2Egr (・∀・)ｲｲ!! (1)

>>9
しっかりアンケなので勝手に勝ち抜き戦だと思い込んでいましたが、
数学の問題を解かせることが狙いなのですね。

11 :名無しさん 13/08/13 02:33 ID:PlCgIlLf4t (・∀・)ｲｲ!! (1)

てか解答を見えないようにしないと多数解答につけてくる人が出るよ

12 :名無しさん 13/08/13 03:52 ID:jMmb4qftoE (・∀・)ｲｲ!! (1)

うひょ！
２時間格闘したけどもう積分は記憶の彼方…
せめても必死の抵抗とDの式のX軸との交点をa,3aと割り出し
鉛筆でグラフを多重に書く
この辺が一番面積でかそうだなと目分量で目星をつけあとはaを分数的に推量ｗ
1/3x^2のほうの面積を３と勝手にみなしおよその面積を適当分数化
ほんで近い選択肢選んできてみたら多数意見ばっちしじゃん！！
うひょーいｗ

インテグラルとか昔やったよなぁ…
使わない知識はどんどん忘れるもんだねぇ
どっかの社長が言ってた「人間は忘れる動物である」ってのをしみじみ思いだした

13 :名無しさん 13/08/13 04:18 ID:xjVZomplMI (・∀・)ｲｲ!! (1)

最小値のグラフがきれいだと思った（小並感）
いい頭の体操になった、ありがとう >>1

14 :名無しさん 13/08/13 04:38 ID:sWm7K,4W3B (・∀・)ｲｲ!! (1)

分からんかった

15 :名無しさん 13/08/13 09:24 ID:hnQP5WX-hA (・∀・)ｲｲ!! (1)

正直、今回の形式じゃなく、S(a)をaを用いて表し、最小値と最大値を求めよ、だったらもうできんかっただろうな。
数学、得意だったのになんだかショック。

16 :13 13/08/13 10:01 ID:xjVZomplMI (・∀・)ｲｲ!! (1)

最小値のグラフじゃなくて面積（S(a)）のグラフだった
どうでもいいけど一応訂正

17 :名無しさん 13/08/13 19:27 ID:YIbATb-6ge (・∀・)ｲｲ!! (1)

解き方ググって定積分とかおおよその目星はついたものの、
高校時代に習った事はすっかり飛んでしまって悩んでるうちに
定員の120名に達してしまってた…　　ふえ〜ん（泣

18 :1 13/08/13 19:34 ID:XArE_CYuj, (・∀・)ｲｲ!! (1)

お疲れ様でした。想定解は3234でした。

図形の概形はこのようになります。http://i.imgur.com/Zgir1jm.png
-x^2+4ax-3a^2=0 <=> x=a,3aなので、
3,a,3aの位置関係で形が変わることになります。
それぞれ場合分けして定積分の計算をすると、
0＜a≦1 のとき S(a) = ∫_0^a 1/3 x^2 + ∫_a^3a(1/3 x^2 -(-x^2+4ax-3a^2)) + ∫_3a^3 1/3 x^2 = ∫_0^3 1/3 x^2 + ∫_a^3a(x-a)(x-3a) = 3-4/3 a^3
1≦a＜3 のとき S(a) = ∫_0^a 1/3 x^2 + ∫_a^3(1/3 x^2 -(-x^2+4ax-3a^2)) = ∫_0^3 1/3 x^2 + ∫_a^3(x^2-4ax+3a^2) = 3+[1/3 x^3-2ax^2-3a^2x]_a^3 = 3+(9-6a+9a^2)-(1/3 a^3-2a^3+3a^3) = -4/3 a^3+9a^2+18a+12
3＜a のとき S(a) = ∫_0^3 1/3 x^2 = 3

aで微分すると、
0＜a≦1 のとき S'(a) = -4a^2 < 0,
1≦a＜3 のとき S'(a) = -4a^2+18a-18 = -2(a-3)(2a-3)
3＜a のとき S'(a) = 0

これらのことより、a=3/2で極小かつ最小をもつことがわかります。
S(3/2)=-4/3(3/2)^3+9(3/2)^2+18(3/2)+12=-9/2+81/4-15=3/4

おまけ：S(a) http://i.imgur.com/Pq0rac2.png

19 :名無しさん 13/08/13 20:35 ID:Bhe3XQsRiq (・∀・)ｲｲ!! (0)

場合分けの不等号とおまけの斜線の位置違うぞ
てかここまで式必要だっけ？

20 :名無しさん 13/08/13 20:40 ID:Bhe3XQsRiq (・∀・)ｲｲ!! (0)

概形の網掛だった…

21 :1 13/08/13 20:50 ID:XArE_CYuj, (・∀・)ｲｲ!! (0)

多くの受験生がその計算量の多さに次々と死んでいくと噂の微積分範囲からの出題でした。
場合分けの不等号はtypoでした。1＜a≦3です。

この問ではS(a)自体を要求されていないので、
Dがx軸,x=3,Cから切り取る面積が最大になることをとっかかりにしてもよろしいかと思います。
論証がだるかったので想定解には盛り込みませんでしたが、
その場合もう少し計算自体は簡単になるでしょう。

22 :1 13/08/13 21:00 ID:XArE_CYuj, (・∀・)ｲｲ!! (0)

S(a)を省いたせいでいろいろショートカットが発生してしまうので
ちゃんと要求するのが微積分の力をためす問題としてはあるべき姿ですが、
それをコソアンでやると選択肢作成の際私が死ぬので採用出来ないかなしみ・・・

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